Valore predittivo di un test diagnostico
VALORE PREDITTIVO DI UN TEST DIAGNOSTICO
Il valore predittivo di un test diagnostico esprime la probabilità che un paziente abbia, o non abbia, una certa malattia conoscendo il risultato del test. Anticipiamo subito che il valore predittivo non è una caratteristica intrinseca del test, al contrario della sensibilità e la specificità, ma dipende dalla prevalenza della malattia, come vedremo fra poco.
(Abbiamo già definito la sensibilità e la specificità di un test nell’articolo: Sensibilità e Specificità di un Test Diagnostico.)
Ci proponiamo ora di rispondere alla seguente domanda: se un paziente risulta positivo a un test, qual è la probabilità che egli sia effettivamente malato? O, viceversa, se un paziente risulta negativo a un test, qual è la probabilità che egli sia effettivamente sano?
Queste due domande corrispondono rispettivamente alle definizioni di valore predittivo positivo e valore predittivo negativo.
Prima di procedere ricordiamo le definizioni di sensibilità, specificità e prevalenza di una malattia:
- sensibilità: probabilità che il test risulti positivo se un paziente è malato. In termini probabilistici la sensibilità si può scrivere come sens = P(+|M).
- specificità: probabilità che il test risulti negativo se un paziente è sano. In termini probabilistici la specificità si può scrivere come spec = P(-|S).
- prevalenza: rapporto tra il numero di soggetti malati e il totale degli individui (malati + sani) presenti in una certa popolazione a un dato istante. In termini probabilistici si può scrivere come prev = P(M), e indica quanto è diffusa la malattia nella popolazione.
Un procedimento analogo a quello che vedremo tra poco lo troviamo nel calcolo della probabilità post-test mediante il likelihood ratio: il valore predittivo non è altro che un caso particolare di probabilità post-test, dove la prevalenza corrisponde alla probabilità pre-test.
VALORE PREDITTIVO POSITIVO
Il valore predittivo positivo VPP di un test è la probabilità che un risultato positivo, in una certa popolazione, corrisponda alla reale presenza della malattia, e quindi a una vera positività. Si può calcolare come segue (per la dimostrazione rimandiamo a Affidabilità di un test diagnostico: matematica e teorema di Bayes):
Equivalentemente, il valore predittivo positivo si può calcolare anche in questo modo VPP = VP/(VP+FP)¹, e corrisponde alla proporzione dei pazienti positivi che sono effettivamente malati. Tuttavia questo metodo presuppone di conoscere la matrice di confusione del test diagnostico, e non risulta essere particolarmente pratico. Generalmente, infatti, si costruisce la matrice di confusione durante il processo di validazione del test, in modo da capire quali siano la sua sensibilità e specificità. Una volta che il test è validato e si vuole utilizzarlo nella pratica clinica, non ha alcun senso ripetere il processo di validazione nella popolazione presa in esame. Nella pratica si utilizzano infatti i valori di sensibilità e specificità propri del test per poi procedere con le opportune valutazioni.
Facciamo alcuni rapidi esempi con un test sensibile e specifico al 99%. Omettendo i calcoli si ottiene:
- se la prevalenza è 1% allora VPP = 50% → ciò significa che, nonostante il test abbia dato esito positivo, la probabilità che il paziente sia realmente malato è solo del 50%!
- se la prevalenza è 2% allora VPP = 67%
- se la prevalenza è 3% allora VPP = 75%
- se la prevalenza è 4% allora VPP = 80%
Come possiamo immaginare, all’aumentare della prevalenza, cresce anche il valore predittivo positivo (in una popolazione dove una certa malattia è molto diffusa, un test positivo è molto probabile che indichi correttamente la presenza della malattia).
GRAFICO DEL VALORE PREDITTIVO POSITIVO
Mostriamo ora che il grafico del valore predittivo positivo in funzione della prevalenza è effettivamente una curva crescente.
Con f(x) indichiamo quindi VPP e con x la prevalenza (compresa tra 0 e 1). La specificità e la sensibilità le indichiamo con a e b, e sono due parametri che variano anch’essi tra 0 e 1.
La sua derivata prima è positiva (siccome a e b sono compresi tra 0 e 1), quindi la funzione è crescente.
Per non appesantire la trattazione, si può facilmente ricavare che la derivata seconda è negativa, dunque la funzione ha un grafico di questo tipo:
VALORE PREDITTIVO NEGATIVO
Il valore predittivo negativo VPN di un test è la probabilità che un risultato negativo del test in una data popolazione corrisponda a una vera negatività. Si può calcolare come segue (per la dimostrazione rimandiamo a Affidabilità di un test diagnostico: matematica e teorema di Bayes):
Equivalentemente, il valore predittivo negativo si può calcolare anche in questo modo VPN = VN/(VN+FN)¹, e corrisponde alla proporzione dei pazienti negativi che sono effettivamente sani. Come detto sopra, questo metodo ha evidenti limiti.
Notiamo a questo punto che all’aumentare della prevalenza il valore predittivo negativo diminuisce (in una popolazione dove una certa malattia è molto diffusa è meno probabile che un test negativo indichi che il paziente sia realmente sano).
GRAFICO DEL VALORE PREDITTIVO NEGATIVO
Mostriamo ora che il grafico del valore predittivo negativo in funzione della prevalenza è effettivamente una curva decrescente.
La sua derivata prima è negativa (siccome a e b sono compresi tra 0 e 1), quindi la funzione è decrescente. Si può ricavare che anche la derivata seconda è negativa.
ESERCIZI SUL VALORE PREDITTIVO
Per alcuni esercizi svolti sul valore predittivo e sulla sensibilità e la specificità dei test diagnostici rimandiamo alla pagina: Esercizi sui test diagnostici: sensibilità, specificità, valore predittivo, curva ROC.
Fonti e note:
- (1) VP = Veri Positivi, FP = Falsi Positivi, VN = Veri Negativi, FN = Falsi Negativi.
- Biostatistica, Marcello Pagano, Kimberlee Gauvreau
- Introductory Biostatistics, 2nd Edition, Chap T. Le, Lynn E. Eberly